Giriş
Sen...Evet sen...Bakma öyle şaşkın şaşkın...Sana diyorum...Merhaba...Kulübümüze hoşgeldin.İsmi biraz galip gelebilir; ama yazının sonunda ismin ne kadar da isabetli olduğunu anlayacaksın.Sabırla ve kafanı duvarlara vurmadan anlamaya çalış anlatacaklarımı :).Biliyorum matematik bazen (doğrusu her zaman) can sıkıcı olabiliyor. Ancak can sıkıcı olduğu kadar da anlaşıldığında ne kadar güçlü ve evreni simüle etmek içiin bize yardımcı olabileceğini tahmin bile edemezsin. O yüzden bu yazının konusu Vektörler, Doğrular, Koordinat Sistemi, Trigonometri, Çember ve Daire, Açılar ve elbette bunların pratikte Oyun Programlamayla nasıl birer ilişkisi olduğu olacak. Muhtemelen "Ama bunları lise ve ortaokulda görmüştüm; işime yarayacağını hiç düşünmemiştim" diyorsundur. İşe yarıyor!!! Hem de çok fazla!!!
Bu ve müteakip gelecek yazılarda seni fazla sıkmadan konuları ve konsepti görsellerle destekleyerek oldukça basit bir düzeyde anlatmaya ihtimam göstereceğim. Söz! Ancak senden tek bir isteğim var. Lütfen not alarak ve ulaştığımız sonuçları programlayarak test et. Eğer ki daha programlamayı öğrenmediysen de endişe etme. Öğrenebilirsin. Bunu da ilerleyen zamanlarda videolar çekerek anlatmayı planlıyorum. Takipte kal!
Titanik Pruvasında Bir Doğru
Titanik, 1997 yapımı gerçek bir hikayeden kurgulanmış filmdir. Her dönemin olduğu gibi 90ların da ikonik yapıtlarından birisi olarak karşımıza çıkar. Nitekim zaten Oscar da almış. Peki konumuzla ne ilgisi var? Biliyorum, biliyorum alakasız gibi. Ancak bu filmin de içerisinde çok fazla akılda kalmış, ikonik sahneler var. Bunlardan birisi de Jack'in ve Rose'un Titanik'in pruvasında (yani geminin başında) buluşması, daha sonra Jack'in Rose'u geminin pruvasında riskli olabilecek şekilde demirlere çıkartıp, kollarını açarak ona güzel bir an yaşatması sahnesidir.
Hepiniz hatırlarsınız doğruları. Ama hatırlamadıysanız Rose'un kollarını açtığında bir doğruyu temsil ettiğini görmüş olmalısınız. Doğru derken yani iki yönden de sonsuza kadar gidebilen çizgilerden bahsediyorum, evet. Tabi bu kadıncağızın kolları sonsuza kadar gidemez ama bir doğruyu temsil edebilir. Doğrular, şuan için (daha analitik düzlemden bahsetmedik, koordinat düzlemini de bilmiyoruz diye varsayarsak) bizim için çok iptidai (ilkel) bir geometrik cisimden ibaret. Doğruya şuan için sonsuz tane noktanın yan yana gelerek oluşturduğu bir çizgi olarak bakabiliriz. Daha matematiksel bir ifadeyle bir noktalar kümesidir.
İbn-i Descartes: "Koordinat Düzlemi - Analitik Düzlem"
Peki üst üste iki doğruyu bir kağıt üzerinde çizersek bu doğrular arasında bir ilişkiden bahsedebilir miyiz? Mesela şöyle iki doğru:
Bu doğrular ya birbirine paralel olabilir. Ya da kesişebilirler. Bunu sezgisel olarak anlamak çok zor değil.
Ancak bunlar arasındaki bu ilişkiden daha fazlasını bu düz kağıt üzerinde söylemek pek mümkün değildir. Burada ihtiyacımız olan farklı bir düzlem, farklı bir yapı var.
Yukarıda iki doğrunun biribiriyle bir ilişkisi olabileceğini söylemiştim. Bunu biraz ileriye taşıyarak, ya iki doğru birbirine tam olarak dik olsa. Diklik kavramından kastım nedir? Şöyle ki, bir doğru bir diğer doğruyu kesiyor olsun ancak bunu yaparken üçüncü ve ikisini de kesen başka bir doğru çizildiğinde aralarında oluşacak üçgen bir dik üçgen olsun. İşte bu durumu sağlayan ilk iki doğru birbirine de dik olacaktır. Sonuç olarak da bu iki doğrunun oluşturacağı yeni sisteme de koordinat sistemi diyeceğiz.
Bu bir dik üçgen oluşturduğuna göre demek ki iki tane doğruyu kullanarak şu şekilde koordinat sistemini oluşturmuş olurum:
Bu koordinat sistemindeki iki doğruya artık eksen diyeceğim ve bu iki eksene istediğim ismi verebilirim. Ancak genel olarak geometriciler yatay olan doğruya x ekseni, dikey olan eksene ise y ekseni demeyi tercih ederler. Biliyorum şuana kadar anlattıklarım çok temel, çok basit şeyler gibi gözüküyor. Ancak ilerledikçe en temel kavramların bile ilerleyen konularda bazı şeyleri anlamak için ne kadar önemli olduğunu göreceksin. Hee bir de unutmadan, bu iki eksenin kesiştiği noktaya da orjin noktası denilir. Bu nokta tam olarak x=0 ve y=0 olarak kabul edilir.
Ayrıca Bilim Tarihinde genelde Descartes ile anılan ve onun bulduğu söylenen koordinat sistemi (ki onun çalışmaları ve eklemeleri ile ortaya çıkan kartezyen sistem analitik düzlem üzerinde çalışır) aslında ondan çok daha evvel birazcık sistematik hale İbn-i Sina tarafından getirilmiştir. Daha da geriye gidersek tabi Antik Yunan'da gelişmeye başladığı da görülebilir.
Koordinat sistemi bize çok güzel birkaç özellik kazandırıyor. O da x ve y eksenleri üzerinden temsili doğrular çizerek bunların kesiştiği yerleri koordinatlayabilmek. Koordinatlamak dediğimiz şey aslında bundan ibaret.
Bak! A noktasını aynı orjini gösterdiğim gibi x=1 ve y=1 ya da daha kısa bir notasyonla A=(1,1) olarak gösterebiliyorum. Gayet güzel. Peki başka neleri gösterebilirim. Yada belki matematiksel olarak bir denklem ile buradaki yapıları ifade edebilir miyim?
Evet, evet! Bir doğruyu koordinat düzlemi üzerindeki x ve y değerlerini kullanarak (bunlara parametre gibi davranarak) doğru denklemi de oluşturmak mümkün gibi gözüküyor. Hadi bunun altını biraz daha kazalım.
Yukarıdaki doğru hep x ve y'nin birbirine eşit olduğu noktalar üzerinden geçiyor. Yani x=1 iken y=1, x=2 iken y=2 gibi gözüküyor. Dolayısıyla bunlar her zaman birbirine eşit olduğuna göre bu doğruyu y=x şeklinde göstermem son derece mantıklı. Ya peki şöyle bir doğru çizersem nasıl olur:
Bu sefer doğru dikkat edersek orjin noktasından geçmiyor. Sanki orjin sağa doğru kaymış da (2,0) noktası olmuş gibi gözüküyor. Aslında bu bize şunu söylüyor. Orjin noktası değişmedi tabi, ama doğru sanki 2 birim x ekseni doğrultusunda sağa doğru kaydırılmış ya da daha kısa bir ifadeyle +x yönünde kaydırılmış (eğer ki -x dersem de sol tarafa doğru, +y dersem yukarıya doğru ve -y dersem de aşağı doğru bir yönden bahsediyor olurum).
2 birim +x yönünde doğruyu ötelemek demek aslında y=x doğru denkleminde (yukarıdaki) y'nin aynı değerlerini alırken x'in bu sefer onun her zaman 2 fazlası değerini alıyor demektir. Yani y için düşünecek olursak x'in aldığı değerlerin her zaman 2 eksiğini alıyor olacaktır bu doğru denklemi için. Öyleyse sezgisel olarak denklemin şu hale gelmesi gerektiğini anlamak çok zor değildir; y=x-2 . Dikkat ederseniz x+ yönünde ötelemek demek aslında ötelendiği birim kadar denklemde x'den bunu çıkarmak demek. Aynısını y için de düşünebilirsiniz. y+ yönünde öteleme yaparsak artık y değerlerinden de ötelenen miktar kadar çıkartmamız gerekir. Tersi durumlarda da x- veya y-'de eklememiz gerekir. Zaten y+'da da 2 birim ötelersek denklem şu hale gelir: y-2=x-2 ve bu da aslında y=x'ten başka bir şey değildir.
Bu yaklaşım çok sezgisel ve her doğru için kafadan hesaplama yapmak da hiç kolay değil. Dolayısıyla bunu sistematik bir hale getirecek bir yol bulmalıyız. Demiştim ki x'e değerler ekleyerek veya çıkararak onu öteyebiliyorduk. Peki ya x'i bir reel sayı (yani irrasyonel olmayan sayı) ile çarparsak bu durumda bunun doğru üzerinde nasıl bir etkisi olur? Mesela y=x doğrusunu tekrar ele alalım. Ve x'i 2 ile çarptığımızı düşünelim. Dolayısıyla yeni denklem y=2x olacaktır. Peki bu nasıl gözükecek? Şöyle gözükecek:
Kırmızı doğru y = 2x 'i ve mavi doğru da y = x 'i temsil etmektedir. Dikkat edilirse bunların x+ yönünde x ekseni ile doğru arasındaki açıları farklıdır. Yani sanki x'i 2 ile çarpmak demek y=x doğrusunun **eğimini **değiştirmiş; bu durumda eğimi artmış gibi gözükmekte. Yine eğer ki x'i bu sefer 1/2 ile yani 0.5 ile çarpmış olsaydım da bunlarında dışında yeşil bir doğru olarak şunu gözlemleyecektik:
Burada da y = x/2 doğrusunun eğimi diğerlerine göre azalmış olarak gözlemlenebilir.
Sonuç olarak, x'in bir reel sayı ile çarpılması doğrunun x ekseni ile arasındaki açıyı değiştiriyor, daha doğrusu eğimini etkiliyor. x'e bir değer eklemek de doğruyu ötelemek anlamına geliyor. Dolayısıyla bu iki bilgiyi kullanarak genel bir denklem oluşturabilir ve bunu bütün doğruları gösterebilmek için referans alabiliriz:
Muhtemelen bunu ortaokuldan veya belki de lise yıllarından hatırlıyorsundur. Bu denklemi kullanarak artık istediğim gibi bir doğru denklemi oluşturabiliri. Yapmam gereken sadece doğru m ve n değerlerini bulmak. İşte tam olarak burada da başka bir problem karşımıza çıkabilir: "Peki ama ben çizilmiş bir doğrunun denklemini nasıl bunu kullanarak oluşturabilirim. Bunun bir yönergesi/algoritması/yöntemi var mı?". Tabiki var. Çok da abartılacak bir yöntem olmasa da aslında hepimizin, hayatımızın her alanında hemen hemen uyguladığımız bir yöntem hem de: "deneme/yanılma". Tabi bu tekniği anlatmadan önce, eğim kavramını biraz daha genişletmek ve açıklamak istiyorum.
Eğim kısaca demiştik ki: Doğrunun x ekseni ile yaptığı açıdır. Tabi doğrudan bu açı değeri eğimin kendisini vermez. Bu açının tanjant değeri eğime eşit olur. Burada trigonometriye geçiş yaparak bunu açıklamak çok daha kolay ancak, şuan için bunu es geçerek, daha basit bir şekilde eğimi tanımlamak istiyorum (nitekim trigonometri bir sonraki konumuzu teşkil ediyor). Aşağıdaki grafikte de görülebileceği gibi doğrunun üzerinde herhangi bir noktayı aldığımızda (örnekte (1,1) noktası alınmış) bu noktaların y değeri ile x değerinin birbirine oranı eğim olarak tanımlanır. Yani eğim y=x denklemi için eğim 
olacaktır:
Ya da bir diğer denklem olan y=2x için ise (1,1) noktasında y/x oranı yani eğim 2 olacaktır:
Dolayısıyla artık denklemimiz için düşünecek olursak; m eğimdir ve y / x ' oranından başka bir şey değildir. Ancak burada gözden kaçmaması gereken şey y / x denklemdeki y ve x değerleriyle aynı değildir. Aslında doğru üzerindeki bir noktanın y ve x değerleridir. Dolayısyıla şu şekilde ifade edersek daha doğru olacaktır; 
. Yani m yerine doğrudan bu noktalarının oranını koyarak denklemimizi düzenlersek şöyle de gösterilebilirdi:
Artık istediğimiz doğrunun en az iki noktasını biliyorsak (aynı noktalar olmamalı) bu doğrunun denklemini yazabiliriz. Bir örnek yapalım hemen. Diyelim ki A(0,1) ve B(2,3) noktalarından geçen doğrunun denklemini oluşturmak istiyorum. Bu durumda yapacağım şey çok basit. Eğimini ve doğrunun y = 0 dayken x değerinin nerede olduğunu yani ne kadar ötelendiğini (denklemdeki n değeri) bulmam gerekiyor.
Eğimi bulmak için bu iki noktanın birleştirildiğinde oluşacak doğru parçasını sanki orjine taşımışım gibi düşünmem gerekiyor. Dolayısıyla bu doğru parçasını y+ yönünde en üstte kalan nokta hangisiyse onunla başlayarak şu şekilde gösterebilirim (Bx - Ax, By - Ay). Buradan da görüleceği üzere,
olacaktır. Dolayısıyla burada değerleri yazarsam,
olarak bulurum. Eğimim tamam. Şimdi de y = 0 noktasinda x'in değerine bakarak ne kadar ötelendiğini anlamaya çalışacağım. Ancak bundan önce elimdeki eğimi denkleme yerleştirerek denklemin eksik parçalarını denklem üzerinde görmek istiyorum.
y = 1.x + n
Burada n'yi bulmak için yapabileceğim şey aslında gayet basit elimdeki noktalardan bir tanesini denkleme koyarak n'yi bulmak. Mesela B noktasının değerlerini (2,3) koyarsak:
3 = 1.2 + n
n = 1
olarak bulunur. Tabi eğer ki diğer noktayı kullansaydık aynı sonucu elde edecektik yine. Sonuç olarak denklemim şu şekilde olmuş olacak:
y = 1.x + 1
y = x + 1
Ve gerçekten de bunu grafikte çizdirdiğimde aşağıdaki gibi bir denklem elde ediyor. Harika değil mi!
Doğruların pek çok farklı ilişkisi olabilir. İki doğrunun kesiştiği noktanın bulunması için yine doğru denklemlerinden faydalanmak mümkündür. Çok karmaşık gibi geliyor kulağa biliyorum ama aslında çok basit iki doğrunun birbiriyle kesiştiğini anlamak veya kesiştiğini biliyorsak hangi noktada bunu yaptığını bulmak. Elimizdeki bilgilerle düşünmeye devam edelim. Diyelim ki iki tane doğru var ve bunlar kesişiyorlar. Birinci doğrunun denklemi,
y = m.x + n
ikinci doğrunun denklemi ise (birinci denklem ile karışmaması için tüm ifadelere ' koydum):
y' = m'.x' + n'
Bu iki doğrunun kesiştiği bir nokta olduğuna göre, denklemleri için de şunu söylemek mümkündür. Bu kesişim noktası P(x0,y0) her iki denklemin de çözüm kümesinin elemanı olmalıdır; yani denklemi sağlamalıdır. Öyleyse (x0,y0) değerlerini vererek bu iki denklem arasında bir eşitlik bulabilir miyim diye bir bakalım (kesiştikleri noktadan dolayı y = y' ve x = x' olacağına dikkat et!) :
y0 = m.x0 + n
y0 = m'.x0 + n'
m.x0 + n = m'.x0 + n'
şeklinde bir eşitliğe ulaştım. Peki bu eşitlikte x0 değerini yalnız bırakmaya çalışırsam ne olur:
x0 = (n' - n) / (m - m')
diye bir eşitliğe ulaşırım. Ve bu (x0,y0) noktalarını kullanarak x0'ı herhangi bir tanesinin doğru denkleminde koyarsam y0 için de bir eşitlik bulabilir miyim ona bakalım:
y0 = m [ (n' - n) / (m - n') ] + n
bu eşitliği açıp, paydaları da eşitlersem bazı terimlerin birbirini yok ettiğini görürüm. Sonuç olarak da şöyle bir eşitliğe ulaşırım:
y0 = (m.n' - n.m') / (m - m')
ve yine
x0 = (n' - n) / (m - m')
ile beraber aslında kesişim noktasının nasıl bulanacağını böylelikle formülüze etmiş oldum. Hemen bir örnek üzerinde bunu test edelim. Mesela y = x + 1 ve y = 2x + 1 denklemleri var elimizde diyelim ki. Bunlar kesiştiğine göre kesiştikleri noktanın koordinatları nedir bunu bulalım. Bunu yukarıdaki formüller ile de yapabilir ya da aslında bu formülleri bulurken uyguladığımız adımları bu sefer sabit değerler üzerinden uygulayarak da yapabiliriz. İkisini de test edelim. Öncelikle kesişim noktasına P(x0, y0) dersek, iki denkleme de bu noktaları koyduğumuzda:
x0 + 1 = 2.x0 + 1
olmasi gerektiği açıktır. Buradan da x0 = 0 olarak bulunabilir. Yine x0'i herhangi bir doğru denkleminde yerine koyarsak da y0'ı bulmuş oluruz:
y0 = 0 + 1
y0 = 1
Ayrıca formülümüzü de kullanırsak ki bilgisayar üzerinde hesaplama yaparken formülleştirmemiz bizim için daha avantajlı ve aslında tek yol :).
x0 = (n' - n) / (m - m') için,
x0 = (1 - 1) / (1 - 2)
x0 = 0
ve yine
y0 = (m.n' - n.m') / (m - m') için,
y0 = (1.1 - 1.2) / (1 - 2)
y0 = 1
olarak bulunur. Gördüğün gibi sonuç değişmedi. Ancak formül kullanarak bir algoritma haline getirmemiz çok daha basit.
Talk to me Goose: "Trigonometri ve avanesi"
86 yapımı Top Gun'ı izlemişsindir. Eğer izlemediysen izlemeni tavsiye ederim. 80lerin klasiklerindendir. Ayrıca yine ikonik bir şarkı olan "Take My Breathe Away" ile özdeşleşmiştir. Konumuzla yine ne alakası var diyorsun muhtemelen. Sabret birazcık, aslında çok alakası var. Hem, dur; vereceğim bilgileri tamamlayayım. Kısaca Amerikan Donanmasının propaganda filmi olmasına rağmen Hollywoord klasiklerinden sayılabilir. Hollywood daha saçmalamıştı diyebiliriz. Tom Cruise "Maverick" isminde bir donanma savaş pilotunu canlandırıyordu. Top Gun ise gerçek bir kurum olup, Amerikan Donanmasının seçkin savaş pilotlarının dog fightlar için özel olarak eğitildiği bir okul.
Peki, konumuzla ne alakası var??? Trigonometri Antik Mısır'da, Antik Yunan'da ve belki daha evvelki medeniyetlerde üçgen ve daire gibi cisimler üzerindeki ölçüm ve hesaplama teknikleri araştırılırken zamanla gelişmiş ve şuan günümüzde neredeyse bütün fen bilimlerinde öyle veya böyle kullanılan oldukça önemli bir konu haline gelmiştir. Uçakların uçuşunu, ışığın kırılımını veya yansımasını, elektronların momentumlarını, yaşanan her türlü fiziksel aktiviteyi ve neredeyse her şeyi ama her şeyi açıklamaya olanak sağlayan bir konudur.
Top Gun'ın birinci filminde, bir sahnede, Maverick ve yardımcı pilotu Goose motorlardan bir tanesi arzalanınca hava akımına kapılıp, kontrollerini kaybediyorlar ve y ekseni boyunca spin atmaya başlıyorlar. Şu sahneden bahsediyorum. Uçağın düşeceğini anladıklarında da "eject" yani kokpitten kendilerini fırlatarak paraşütle kurtulma prosederüne karar veriyorlar. Ancak burada matematiksel bir olasılık yüzünden Goose kokpitten fırlattığında kendisini; y ekseni boyunca hareket ederken, uçağın kokpitini kaplayan cam kapağa sert şekilde çarparak ölüyor. Üzücü bir durum.
Trigonometri ile bu yaşananlar izah edilebilir elbette. Bu da trigonemetri bilmenin aslında çok da kötü bir şey olmadığını gösteren bir örnek. Eğer ki bu sahnenin başladığı anda, zamanı durdurup, matematiksel hesaplamalar yapsak ve "eject" için doğru bir pozisyonun ne zaman olduğunu tespit etmek istesek; mecburen trigonometri kullanmamız gerekidir. Bunu yaptıktan sonra da tabi zamanı tekrardan akışına bıraksak ve "eject" için artık doğru zamanı bildiğimizden komut olarak telsizden Goose'a versek; hayatta kalabilirdi.
Bu yaşananları daha iyi anlamak ve modelleyebilmek için önce trigonometriye biraz daha yakından bakalım. Trigonometri yani "üçgen" ve "ölçmek" kavramlarının Yunanca birleşimi. Trigonometri aslında üçgenlerle daha doğrusu dik üçgenlerle ilgilidir. Tüm formüllerin, oranların ve sistemin çıkışı aslında bir birim çember içerisindeki bir dik üçgene dayanır:
Ancak bu dik üçgen ile hala pek bir şey yapabilir gibi gözükmüyoruz. Ya peki bir dik üçgen ile bir çemberin arasında bir ilişki olabilir miydi söylediğimiz gibi? Ya da şöyle söyleyelim: yarıçapı 1 birim olan ve merkezi orjinde olan bir çember üzerinde dik üçgen çizsem. Yani bir köşesi orjin üzerinde olacak ve çember üzerinde bir noktadan itibaren x eksenine dik indireceğim şekilde üç noktayı birleştirip bir dik üçgen oluştursam acaba neler gözlemleyebilirim:
Yani ACD noktalarının oluşturduğu üçgenden bahsediyorum. Bu üçgen yarıçapı 1 birim olan çemberin üzerinde duruyor. Ve C noktasını çemberin yayı üzerinde +y ve -y yönelerinde hareket ettirsem bu dik üçgenin dik kenarı ve tabiki yatay kenarıyla hipotenüsü de değişir (hipotenüs iki dik kenarın açık köşelerinin birleştirildiği kenara denir). Mesela C noktasını birazcık daha yukarıya doğru kaydırdığımızda dik üçgen şu hale gelir:
C noktasını birazcık daha aşağıya doğru kaydırdığımızda ise dik üçgen şu hale gelir:
Buradaki değişen şeyler sadece kenarların boyutu değil. Aslında CAD açısı da yani A noktası üzerindeki açı da C noktası hareket ettikçe değişiyor. Bu açı aynı zamanda da C noktası ve X ekseninin çemberi kestiği nokta arasındaki yayın büyüklüğüyle de bir ilişkiye sahiptir. Bu çemberin çevresinin birimine radyan denilir.
Ve aslında çemberin yarıçapının uzunluğu kadarlık yay uzunluğuna bir radyan denilir. Eğer ki bunu da π sayısına bölersek (çünkü bir oran olduğu bariz) elde edeceğimiz ölçü birimi derece yani açımızın değeri olmuş olur:
Bu biraz kafanı karıştırmış olabilir. Dikkatli şekilde incele ve anlamaya çalış. Çok basit bir oran ve kavram. Eğer ki π sayısının ne olduğunu bilmiyorsan. Öyle ki modern matematikle kıyaslanamayacak kadar basit bir matematiğin olduğu dönemlerde insanlar bu ilişkileri kolaylıkla anlayabilmişler.
Pekala, bu açı üzerinden birtakım oranlar bulabilir miyiz? Aslında evet. Hatta bu oranlara isimler bile verilmiş:
Burada opposite yani karşı, adjacent yani komşu ve hypotenuse yani hipotenüse değerler verirsek; karşı a, komşu b ve hipotenüs de c değişkenleri olsun, dolayısıyla trigonometrik oranlar şu şekilde olacaktır:
Bu oranları birim çember üzerinde gösterirsek hipotenüs her zaman 1 olacağı için oranlar daha basit hale gelir:
Burada daha yalın şekilde doğrudan şu hale getirebiliriz ifadeleri:
